...Вона блює і співає

Чи можна писати ініціали (поруч із прізвищем) разом чи потрібно ставити пробіл між ім'ям та по батькові?

Наприклад, Л.П. Косач чи Л. П. Косач

Чи є правило, яке це регулює?

Окремо.

Аргументи:

1. В прикладах у правописі (§ 42.1) — окремо. Так, ці приклади ілюструють трішки інше, але прецедент є. Можна подивитися друкований варіант правопису (щоб переконатися, що це не дефекти оцифрування).

2. Отут (дякую, Artemix'е, за коментар) дуже слушний аргумент: немає правил, які би предписували відділяти скорочення слів (у більшості випадків, в т. ч. імена) інакше, ніж самі слова. Відповідно: «місто␣Київ» → «м.␣Київ» (прогалок залишається), «соціал-демократичний» → «с.-д.» (прогалки не з'являються), «Іван␣Петрович␣Лобода» → «І.␣П.␣Лобода» або «І.␣П.␣Л.» (прогалки лишаються), «Богдан-Ігор␣Антонич» → «Б.-І.␣Антонич» (все як було).

3. Прогалки у відповідній ситуації ставляться в російській типографіці (яка не зобов'язана збігатися з нашою, але на яку ми часто оглядаємось). Причому там рекомендують ставити прогалок нормальної ширини, а не зменшеної (на відміну від, наприклад, «15 000», «5° C» і другого прогалку в «і т. п.»). В англійській мові — по-різному, але частіше ставлять.

Але не можна розривати між рядками.

Саме про це був вищенаведений § 42.1:

Не можна переносити прізвища, залишаючи в кінці попереднього рядка ініціали або інші умовні скорочення, що до них відносяться: Т. Г. Шевченко (а не Т. Г. // Шевченко), гр. Іваненко (а не гр. // Іваненко), акад. (доц., проф.) Гончаренко (а не акад. (доц., проф.) // Гончаренко), тов. Гнатюк (а не тов. // Гнатюк).

Саме тому дехто у випадках неможливості чи складності постановки нерозривних прогалків обирає не ставити прогалки взагалі — адже ширина (і, відповідно, наявність) прогалків — це питання значною мірою типографічне, а неможливість розриву зафіксована в правописі.