...Вона блює і співає

З першим словом проблем наче немає. Батько -> Батьківщина.

А от друге здається криво запозиченим.

Що таке вітчизна? Країна "вітчима"? Росіянізм?

Сум має в собі "вітчизну", але щось мене це не аж занадто переконує в правильності й доречності слова.

Буду вдячний тому, хто зможе пояснити, як воно сталося, що в українській з’явилося це слово. Може, я помиляюся?

Було таке праслов'янське слово *оtьсь, від якого пішли отець, отец, оцец, отац, óčе, otec, оjсiес..., а також (укр.) вітець, (в.-луж.) wótc, wóćec, (н.-луж.) wóśc.

Оце початкове "в" називають протетичним "в". Ця цікава риса характерна для нашої мови та для лужицьких мов (до речі, подивіться на карту, лужичани мешкають від нас на відстані 1000 км).

Однією з особливостей української мови, яка одразу кидається у вічі при порівнянні масиву лексики з іншими слов’янськими, є так звана протеза (від гр. виставлення). Сучасна українська мова знає три протетичні приголосні:

1. [j] перед [i], [e] та [a] (їсти, єврей, ягня);
2. [w] перед [i], що розвинувся з [o], перед [u] та [o] (вікно, вулиця, вогонь);
3. рідко коли [ɦ] перед [o], [a] та [y] (гострий, гармата, гикавка).

Спостерігається діалектна різноманітність у вживанні протетичних приголосних та відсутність єдиних чітких закономірностей. Протетичні приголосні можуть конкурувати (як [v] з [ɦ]), або поширюватися на переважну більшість говорів української мови ([w]). Джерело

Вогонь, восьмий, вухо, вікно, він, вус... і, як ви вже здогадалися, вітець, вітчим :-).
Тому говорити, що "вітець" це запозичення, трохи недоречно.

Щодо "отчизни", це давнє книжне слово, воно є у давньоукраїнських літературних пам'ятках, з часом воно трансформувалося у "вітчизну". Суфікс -изна, є одним із словотворчих інстументів нашої мови (жовтизна, білизна, дороговизна, польщизна, сивизна тощо), тому не бачу жодної причини відмовлятися від цього українського слова.